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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
b) f(x)=x3−3x+1f(x)=x^{3}-3 x+1

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=x3−3x+1f(x)=x^{3}-3 x+1 siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales
  - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x3−3x+1=+∞ \lim_{x \to +\infty} x^{3}-3 x+1 = +\infty lim⁡x→−∞x3−3x+1=−∞ \lim_{x \to -\infty} x^{3}-3 x+1 = -\infty

Es decir, ff no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en +∞+\infty y en −∞-\infty nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
- Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas ocurren típicamente en funciones donde tenemos un cociente de polinomios, donde el grado del polinomio de arriba supera en un grado el del polinomio de abajo. Hacé la prueba y convencete que, en este caso, no tenemos asíntota oblicua (ya el límite de mm te va a dar infinito)
3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :
f′(x)=3x2−3 f'(x) = 3x^2 -3
4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 
  3x2−3=0 3x^2 - 3 = 0
Tenemos una cuadrática igualada a cero, podés aplicar la fórmula resolvente, o también sale despejando como ya vimos tantas veces. Vas a llegar a que los resultados son x=−1 x = -1 y x=1 x = 1 . Estos son nuestros "puntos críticos"

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) x<−1 x < -1 b) −1<x<1 -1 < x < 1 c) x>1 x > 1  

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:
a) Para x<−1 x < -1 , podemos tomar x=−2 x = -2 : f′(−2)=9>0 f'(-2) = 9 > 0 En este intervalo, f f es creciente. b) Para −1<x<1 -1 < x < 1 , tomamos x=0 x = 0 : f′(0)=−3<0 f'(0) = -3 < 0 En este intervalo, f f es decreciente. c) Para x>1 x > 1 , podemos tomar x=2 x = 2 : f′(2)=9>0 f'(2) = 9 > 0 En este intervalo, f f es creciente. 
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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